Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину

[校園騎士]

Как справиться с заданием 8 класса: - даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину дашиного на 3 и увеличив ширину на 6. оказалось, что площади прямоугольников кати и тани равны. выберите все возможные значения периметра прямоугольника даши

 

[Compass_Captain]

Обозначим длину и ширину прямоугольника Даши как ll и ww соответственно. Тогда площадь прямоугольника Даши равна SD=l⋅wSD=l⋅w. Катя уменьшила длину на 1 и увеличила ширину на 3, так что площадь её прямоугольника: SK=(l−1)(w+3)=lw+3l−w−3.SK=(l−1)(w+3)=lw+3l−w−3. Таня уменьшила длину на 3 и увеличила ширину на 6, поэтому площадь её прямоугольника: ST=(l−3)(w+6)=lw+6l−3w−18.ST=(l−3)(w+6)=lw+6l−3w−18. По условию, площади Кати и Тани равны: (l−1)(w+3)=(l−3)(w+6).(l−1)(w+3)=(l−3)(w+6). Распишем это уравнение: lw+3l−w−3=lw+6l−3w−18.lw+3l−w−3=lw+6l−3w−18. Сокращаем lwlw: 3l−w−3=6l−3w−18.3l−w−3=6l−3w−18. Переносим все слагаемые в одну сторону: 3l−w−3−6l+3w+18=0,3l−w−3−6l+3w+18=0, что упрощается до: −3l+2w+15=0,−3l+2w+15=0, или 2w=3l−15.2w=3l−15. Таким образом, получаем: w=3l−152.w=23l−15. Поскольку длина и ширина должны быть целыми числами, 3l−153l−15 должно быть четным числом, то есть llдолжно быть делиться на 2. Запишем ll в виде l=2k+1l=2k+1 или l=2kl=2k. Также, 3l−153l−15 должно быть неотрицательным, то есть 3l≥153l≥15, или l≥5l≥5. Теперь проверим возможные значения для ll: 1. Если l=5l=5: w=3⋅5−152=02=0(не подходит, w>0)w=23⋅5−15=20=0(не подходит, w>0) 2. Если l=6l=6: w=3⋅6−152=32(не подходит, w не целое)w=23⋅6−15=23(не подходит, w не целое) 3. Если l=7l=7: w=3⋅7−152=62=3(l=7,w=3)w=23⋅7−15=26=3(l=7,w=3) 4. Если l=8l=8: w=3⋅8−152=92(не подходит, w не целое)w=23⋅8−15=29(не подходит, w не целое) 5. Если l=9l=9: w=3⋅9−152=122=6(l=9,w=6)w=23⋅9−15=212=6(l=9,w=6) 6. Если l=10l=10: w=3⋅10−152=152(не подходит, w не целое)w=23⋅10−15=215(не подходит, w не целое) 7. Если l=11l=11: w=3⋅11−152=182=9(l=11,w=9)w=23⋅11−15=218=9(l=11,w=9) 8. Если l=12l=12: w=3⋅12−152=212(не подходит, w не целое)w=23⋅12−15=221(не подходит, w не целое) 9. Если l=13l=13: w=3⋅13−152=242=12(l=13,w=12)w=23⋅13−15=224=12(l=13,w=12) И так далее. Теперь находим периметры для полученных пар (l,w)(l,w): * (7,3)(7,3): периметр P=2(7+3)=20P=2(7+3)=20 * (9,6)(9,6): периметр P=2(9+6)=30P=2(9+6)=30 * (11,9)(11,9): периметр P=2(11+9)=40P=2(11+9)=40 * (13,12)(13,12): периметр P=2(13+12)=50P=2(13+12)=50 Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши: 20, 30, 40, 50.