Известно, что 𝑎^17≡10(mod101) . какой наименьший показатель может быть у числа 𝑎 по модулю 101 ?

[BücherWurm]

Как приступить к решению задачи 9 класса: - известно, что 𝑎^17≡10(mod101) . какой наименьший показатель может быть у числа 𝑎 по модулю 101 ?

 

[ПортфельПират]

Чтобы найти наименьший показатель числа a по модулю 101, при условии, что a^17 ≡ 10 (mod 101), нам нужно использовать свойства чисел по модулю и, возможно, теорему о малых числах Ферма. Применим теорему Ферма: Поскольку 101 — простое число, по теореме Ферма, для любого целого числа a, не делящегося на 101, выполняется: a^(100) ≡ 1 (mod 101). Найдем порядок числа a: Порядок числа a по модулю 101 — это наименьшее положительное целое число d, такое что a^d ≡ 1 (mod 101). Порядок d должен делить 100 (поскольку 100 — это φ(101), где φ — функция Эйлера). Сначала найдем, что a^17 ≡ 10 (mod 101): Это говорит о том, что a^17 — это некое число, которое при возведении в степень d должно давать 1, а значит, a^17 может быть выражено как (a^d)^k для некоторого целого k. Определим, как выразить 10 через a: Если a^17 ≡ 10 (mod 101), то мы можем записать: a^(17k) ≡ 10^k (mod 101). Найдем наименьший показатель: Чтобы найти наименьший показатель m, при котором a^m ≡ 10 (mod 101), нам нужно решить уравнение: 17m ≡ k (mod d), где d — порядок a. Поскольку 17 и 100 взаимно простые (17 не делится на 100), мы можем найти обратное число к 17 по модулю 100, чтобы выразить m через k. Обратное число к 17 по модулю 100: Для этого можем использовать расширенный алгоритм Евклида. В результате, обратное число к 17 по модулю 100 равно 53 (поскольку 17 * 53 ≡ 1 (mod 100)). Теперь выразим m: Умножим обе стороны уравнения на 53: m ≡ 53 * k (mod 100). Для k = 1, получаем: m ≡ 53 (mod 100). Таким образом, наименьший показатель числа a по модулю 101, при условии, что a^17 ≡ 10 (mod 101), равен 53.