Слово "шьют" пишется с мягким знаком. Мягкий знак в данном случае является разделительным, так как он находится в корне слова и разделяет его. Согласно правилу, разделительный мягкий знак пишется перед гласными буквами - е, ё, я, ю, и - в корне слова.
