В возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх члено

[Bücher_Bandit]

Поделитесь, пожалуйста, идеями по решению задачи 11 класса: - в возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх членов равна 13. найти сумму первых пяти членов этой прогрессии

 

[Règle_Rebelle]

Дано: bn – геометрическая прогрессия;
b1 + b2 = 4, b1 + b2 + b3 = 13;
Найти: S5 - ?

Формула члена геометрической прогрессии: bn = b1 * q^(n – 1),
где b1 – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.
Вычислим с помощью этой формулы второй, третий и пятый члены заданной прогрессии:
b2 = b1 * q^(2 – 1) = b1 * q;
b3 = b1 * q^(3 – 1) = b1 * q^2;
b5 = b1 * q^(5 – 1) = b1 * q^4.

Т.о. имеем:
b1 + b2 = 4; и b1 + b2 + b3 = 13;
b1 + b1 * q = 4; b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 13;
b1 (1 + q) = 4; b1 (1 + q + q^2) = 13;
b1 = 4 / (1 + q). b1 = 13 / (1 + q + q^2).

Т.е. 4 / (1 + q) = 13 / (1 + q + q^2);
4 * (1 + q + q^2) = 13 * (1 + q);
4 + 4q + 4q^2 = 13 + 13q;
4q^2 - 9q – 9 = 0;
D = (-9) – 4 * 4 * (-9) = 225; sqrt(D) = sqrt (225) = 15;
q1 = (9 + 15) / 8 = 3;
q2 = (9 – 15) / 8 = -0,75.
Т.к. из условия известно, что заданная прогрессия возрастающая, значит значение ее знаменателя так же есть положительное число (q = 3).
Вычислим значения: b1 = 4 / (1 + q) = 4 / (1 + 3) = 1;
b5 = b1 * q^4 = 1 * 3^4 = 81.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:
Sn = (bn * q – b1) / (q – 1);
Т.о. S5 = (b5 * q – b1) / (q – 1) = (81 * 3 – 1) / (3 – 1) = 121.
Ответ: S5 = 121.​