Возвести в степень по формуле муавра (3/2+√3/2i)^6

[Tarea_Titán]

Подскажите, как справиться с заданием 10 класса: - возвести в степень по формуле муавра (3/2+√3/2i)^6

 

[ДоскаДжедай]

Чтобы возвести комплексное число в степень с помощью формулы Муавра, сначала следует преобразовать его в полярную форму. Комплексное число (3/2 + √3/2i) можно представить как r(cos(φ) + i sin(φ)), где r — модуль числа, а φ — аргумент. Для нахождения модуля r используем формулу: r = √(a² + b²), где a — действительная часть, b — мнимая часть. В нашем случае a = 3/2, b = √3/2. Модуль: r = √((3/2)² + (√3/2)²) = √(9/4 + 3/4) = √(12/4) = √3. Теперь найдем аргумент φ: φ = arctan(b/a) = arctan((√3/2)/(3/2)) = arctan(√3/3) = π/6. Теперь выражаем число в полярной форме: (3/2 + √3/2i) = √3 (cos(π/6) + i sin(π/6)). Теперь применим формулу Муавра: (r(cos(φ) + i sin(φ)))^n = r^n (cos(nφ) + i sin(nφ)). Для n = 6, получаем: