В данном случае нужно поставить some, чтобы получилось we've got some burgers. В любых подобных случаях предлог any ставится тогда и только тогда, когда предложение вопросительное или отрицательное. То есть следовало бы употребить any, если было бы "We have NOT any burgers" или "Have we got any burgers?"
