(Кто?) старик - подлежащее (имя существительное).
Старик (Что делал?) жил - сказуемое (глагол).
Жил (С кем?) со старухой - дополнение (имя существительное).
Старухой (Чьей?) своей - определение (местоимение).
Жил (Где?) у моря - обстоятельство (имя существительное).
Моря (Какого?) самого синего - определение (имена прилагательные).
Выделенное слово является именем прилагательным (обозначает цвет моря) и выполняет роль второстепенного члена предложения - определения.